scipy.sparse.linalg.

cg#

scipy.sparse.linalg.cg(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None)[источник]#

Решить Ax = b с методом сопряжённых градиентов, для симметричной, положительно-определённой A.

Параметры:

A{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Вещественная или комплексная N-на-N матрица линейной системы. A должна представлять эрмитову, положительно определённую матрицу. Альтернативно, A может быть линейным оператором, который может производить Ax используя, например, scipy.sparse.linalg.LinearOperator.
bndarray: Правая часть линейной системы. Имеет форму (N,) или (N,1).
x0ndarray: Начальное предположение для решения.
rtol, atolfloat, опционально: Параметры для теста сходимости. Для сходимости, norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) должно быть удовлетворено. По умолчанию atol=0. и rtol=1e-5.
maxiterцелое число: Максимальное количество итераций. Итерация остановится после maxiter шагов, даже если указанная точность не достигнута.
M{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Предобусловливатель для A. M должна представлять эрмитову, положительно определённую матрицу. Она должна аппроксимировать обратную матрицу A (см. Примечания). Эффективное предобуславливание значительно улучшает скорость сходимости, что означает, что требуется меньше итераций для достижения заданной погрешности.
callbackфункция: Пользовательская функция, вызываемая после каждой итерации. Вызывается как callback(xk), где xk является текущим вектором решения.

Возвращает:

xndarray

Сходящееся решение.

infoцелое число

Предоставляет информацию о сходимости:: 0 : успешное завершение >0 : сходимость к допуску не достигнута, количество итераций

Примечания

Предобусловливатель M должна быть матрицей такой, что M @ A имеет меньшее число обусловленности, чем A, см. [2].

Ссылки

[1]

“Метод сопряженных градиентов, Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method

[2]

“Предобуславливатель”, Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Preconditioner

Примеры

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import cg
>>> P = np.array([[4, 0, 1, 0],
...               [0, 5, 0, 0],
...               [1, 0, 3, 2],
...               [0, 0, 2, 4]])
>>> A = csc_array(P)
>>> b = np.array([-1, -0.5, -1, 2])
>>> x, exit_code = cg(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exit_code)    # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True