scipy.sparse.linalg.

lgmres#

scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False)[источник]#

Решить Ax = b с алгоритмом LGMRES.

Алгоритм LGMRES [1] [2] разработан для избежания некоторых проблем в сходимости перезапущенного GMRES и часто сходится за меньшее количество итераций.

Параметры:

A{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Вещественная или комплексная N-на-N матрица линейной системы. Альтернативно, A может быть линейным оператором, который может производить Ax используя, например, scipy.sparse.linalg.LinearOperator.
bndarray: Правая часть линейной системы. Имеет форму (N,) или (N,1).
x0ndarray: Начальное предположение для решения.
rtol, atolfloat, опционально: Параметры для теста сходимости. Для сходимости, norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) должно быть удовлетворено. По умолчанию rtol=1e-5, по умолчанию для atol является 0.0.
maxiterint, необязательный: Максимальное количество итераций. Итерация остановится после maxiter шагов, даже если указанная точность не достигнута.
M{разреженный массив, ndarray, LinearOperator}, опционально: Предобусловливатель для A. Предобусловливатель должен аппроксимировать обратную матрицу A. Эффективное предобусловливание значительно улучшает скорость сходимости, что означает, что требуется меньше итераций для достижения заданной погрешности.
callbackфункция, необязательный: Пользовательская функция, вызываемая после каждой итерации. Она вызывается как callback(xk), где xk — текущий вектор решения.
inner_mint, необязательный: Количество внутренних итераций GMRES на каждую внешнюю итерацию.
outer_kint, необязательный: Количество векторов для переноса между внутренними итерациями GMRES. Согласно [1], хорошие значения находятся в диапазоне 1…3. Однако обратите внимание, что если вы хотите использовать дополнительные векторы для ускорения решения нескольких похожих задач, могут быть полезны большие значения.
outer_vсписок кортежей, опционально: Список, содержащий кортежи (v, Av) векторов и соответствующих матрично-векторных произведений, используемых для расширения подпространства Крылова и переносимых между внутренними итерациями GMRES. Элемент Av может быть None если произведение матрицы на вектор должно быть пересчитано. Этот параметр изменяется на месте с помощью lgmresи может использоваться для передачи «предполагаемых» векторов в алгоритм и из него при решении похожих задач.
store_outer_Avbool, необязательно: Должен ли LGMRES хранить также A@v в дополнение к векторам v в outer_v list. По умолчанию True.
prepend_outer_vbool, необязательно: Размещать ли векторы дополнения outer_v перед итерациями Крылова. В стандартном LGMRES, prepend_outer_v=False.

Возвращает:

xndarray

Сходящееся решение.

infoint

Предоставляет информацию о сходимости:

0 : успешный выход

>0 : сходимость к допуску не достигнута, количество итераций

<0 : недопустимый ввод или сбой

Примечания

Алгоритм LGMRES [1] [2] разработан для избежания замедления сходимости в перезапускаемом GMRES из-за чередующихся векторов невязки. Обычно он часто превосходит GMRES(m) с сопоставимыми требованиями к памяти по некоторым показателям или, по крайней мере, не намного хуже.

Ещё одно преимущество этого алгоритма в том, что вы можете предоставить ему 'угаданные' векторы в outer_v аргумент, расширяющий подпространство Крылова. Если решение лежит близко к охвату этих векторов, алгоритм сходится быстрее. Это может быть полезно, если несколько очень похожих матриц нужно инвертировать одна за другой, как в итерации Ньютона-Крылова, где матрица Якоби часто мало меняется на нелинейных шагах.

Ссылки

[1] (1,2,3)

A.H. Baker и E.R. Jessup и T. Manteuffel, "Техника для ускорения сходимости перезапущенного GMRES", SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005).

[2] (1,2)

A.H. Baker, "On Improving the Performance of the Linear Solver restarted GMRES", докторская диссертация, Университет Колорадо (2003).

Примеры

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import lgmres
>>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True