spherical_jn#
- scipy.special.spherical_jn(n, z, производная=False)[источник]#
Сферическая функция Бесселя первого рода или её производная.
Определяется как [1],
\[j_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{n + 1/2}(z),\]где \(J_n\) является функцией Бесселя первого рода.
- Параметры:
- nint, array_like
Порядок функции Бесселя (n >= 0).
- zкомплексное или вещественное число, array_like
Аргумент функции Бесселя.
- производнаяbool, необязательно
Если True, возвращается значение производной (а не самой функции).
- Возвращает:
- jnndarray
Примечания
Для вещественных аргументов, больших порядка, функция вычисляется с использованием возрастающей рекуррентности [2]. Для малых вещественных или комплексных аргументов используется определяющее соотношение с цилиндрической функцией Бесселя первого рода.
Производная вычисляется с использованием соотношений [3],
\[ \begin{align}\begin{aligned}j_n'(z) = j_{n-1}(z) - \frac{n + 1}{z} j_n(z).\\j_0'(z) = -j_1(z)\end{aligned}\end{align} \]Добавлено в версии 0.18.0.
Ссылки
[AS]Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.
Примеры
Сферические функции Бесселя первого рода \(j_n\) принимают как действительный, так и комплексный второй аргумент. Они могут возвращать комплексный тип:
>>> from scipy.special import spherical_jn >>> spherical_jn(0, 3+5j) (-9.878987731663194-8.021894345786002j) >>> type(spherical_jn(0, 3+5j))
Мы можем проверить соотношение для производной из примечаний для \(n=3\) в интервале \([1, 2]\):
>>> import numpy as np >>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01) >>> np.allclose(spherical_jn(3, x, True), ... spherical_jn(2, x) - 4/x * spherical_jn(3, x)) True
Первые несколько \(j_n\) с действительным аргументом:
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-0.5, 1.5) >>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $j_n$') >>> for n in np.arange(0, 4): ... ax.plot(x, spherical_jn(n, x), label=rf'$j_{n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
