spherical_yn#
- scipy.special.spherical_yn(n, z, производная=False)[источник]#
Сферическая функция Бесселя второго рода или её производная.
Определяется как [1],
\[y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n + 1/2}(z),\]где \(Y_n\) является функцией Бесселя второго рода.
- Параметры:
- nint, array_like
Порядок функции Бесселя (n >= 0).
- zкомплексное или вещественное число, array_like
Аргумент функции Бесселя.
- производнаяbool, необязательно
Если True, возвращается значение производной (а не самой функции).
- Возвращает:
- ynndarray
Примечания
Для вещественных аргументов функция вычисляется с использованием возрастающей рекурсии [2]. Для комплексных аргументов используется определяющее соотношение с цилиндрической функцией Бесселя второго рода.
Производная вычисляется с использованием соотношений [3],
\[ \begin{align}\begin{aligned}y_n' = y_{n-1} - \frac{n + 1}{z} y_n.\\y_0' = -y_1\end{aligned}\end{align} \]Добавлено в версии 0.18.0.
Ссылки
[AS]Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.
Примеры
Сферические функции Бесселя второго рода \(y_n\) принимают как действительный, так и комплексный второй аргумент. Они могут возвращать комплексный тип:
>>> from scipy.special import spherical_yn >>> spherical_yn(0, 3+5j) (8.022343088587197-9.880052589376795j) >>> type(spherical_yn(0, 3+5j))
Мы можем проверить соотношение для производной из примечаний для \(n=3\) в интервале \([1, 2]\):
>>> import numpy as np >>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01) >>> np.allclose(spherical_yn(3, x, True), ... spherical_yn(2, x) - 4/x * spherical_yn(3, x)) True
Первые несколько \(y_n\) с действительным аргументом:
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 1.0) >>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $y_n$') >>> for n in np.arange(0, 4): ... ax.plot(x, spherical_yn(n, x), label=rf'$y_{n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
