scipy.special.

chebyu

scipy.special.chebyu(n, монический=False)

Полином Чебышёва второго рода.

Определяется как решение уравнения

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}U_n - 3x\frac{d}{dx}U_n + n(n + 2)U_n = 0;\]

\(U_n\) является полиномом степени \(n\).

Параметры:

nint

Степень полинома.

моническийbool, необязательно

Если True, масштабировать старший коэффициент до 1. По умолчанию False.

Возвращает:

Uorthopoly1d

Полином Чебышёва второго рода.

Смотрите также

chebyt

Полином Чебышёва первого рода.

Примечания

Полиномы \(U_n\) ортогональны на \([-1, 1]\) с весовой функцией \((1 - x^2)^{1/2}\).

Ссылки

[AS]

Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.

Примеры

Попробуйте в вашем браузере!

Полиномы Чебышёва второго рода порядка \(n\) может быть получен как определитель конкретного \(n \times n\) матрицы. В качестве примера мы можем проверить, как точки, полученные из определителя следующей \(3 \times 3\) матрица точно лежит на \(U_3\):

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyu
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $U_3$')
>>> ax.plot(x, chebyu(3)(x), label=rf'$U_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[2*p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

Они удовлетворяют рекуррентному соотношению:

\[U_{2n-1}(x) = 2 T_n(x)U_{n-1}(x)\]

где \(T_n\) являются полиномами Чебышёва первого рода. Давайте проверим это для \(n = 2\):

>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(chebyu(3)(x), 2 * chebyt(2)(x) * chebyu(1)(x))
True

Мы можем построить график полиномов Чебышева \(U_n\) для некоторых значений параметра \(n\):

>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $U_n$')
>>> for n in np.arange(1,5):
...     ax.plot(x, chebyu(n)(x), label=rf'$U_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

НазадОткрыть во вкладке