scipy.special.expi#

scipy.special.expi(x, выход=None) = 'expi'>#

Экспоненциальный интеграл Ei.

Для вещественных \(x\), интегральная показательная функция определяется как [1]

\[Ei(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} dt.\]

Для \(x > 0\) интеграл понимается как главное значение по Коши.

Он расширен на комплексную плоскость аналитическим продолжением функции на интервале \((0, \infty)\). Комплексный вариант имеет разрез ветви на отрицательной действительной оси.

Параметры:

xarray_like: Вещественный или комплексный аргумент
выходndarray, необязательно: Необязательный выходной массив для результатов функции

Возвращает:

скаляр или ndarray: Значения экспоненциального интеграла

Смотрите также

exp1: Экспоненциальный интеграл \(E_1\)
expn: Обобщённый экспоненциальный интеграл \(E_n\)

Примечания

Экспоненциальные интегралы \(E_1\) и \(Ei\) удовлетворяют соотношению

\[E_1(x) = -Ei(-x)\]

для \(x > 0\).

Ссылки

[1]

Digital Library of Mathematical Functions, 6.2.5 https://dlmf.nist.gov/6.2#E5

Примеры

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

Это связано с exp1.

>>> x = np.array([1, 2, 3, 4])
>>> -sc.expi(-x)
array([0.21938393, 0.04890051, 0.01304838, 0.00377935])
>>> sc.exp1(x)
array([0.21938393, 0.04890051, 0.01304838, 0.00377935])

Комплексный вариант имеет разрез ветви на отрицательной вещественной оси.

>>> sc.expi(-1 + 1e-12j)
(-0.21938393439552062+3.1415926535894254j)
>>> sc.expi(-1 - 1e-12j)
(-0.21938393439552062-3.1415926535894254j)

По мере приближения комплексного варианта к разрезу ветви, действительные части приближаются к значению действительного варианта.

>>> sc.expi(-1)
-0.21938393439552062

Реализация SciPy возвращает вещественный вариант для комплексных значений на разрезе ветви.

>>> sc.expi(complex(-1, 0.0))
(-0.21938393439552062-0j)
>>> sc.expi(complex(-1, -0.0))
(-0.21938393439552062-0j)