genlaguerre#
- scipy.special.genlaguerre(n, alpha, монический=False)[источник]#
Обобщённый (присоединённый) полином Лагерра.
Определяется как решение уравнения
\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]где \(\alpha > -1\); \(L_n^{(\alpha)}\) является полиномом степени \(n\).
- Параметры:
- nint
Степень полинома.
- alphafloat
Параметр, должен быть больше -1.
- моническийbool, необязательно
Если True, масштабировать старший коэффициент до 1. По умолчанию False.
- Возвращает:
- Lorthopoly1d
Обобщенный полином Лагерра.
Примечания
Для фиксированного \(\alpha\), полиномы \(L_n^{(\alpha)}\) ортогональны на \([0, \infty)\) с весовой функцией \(e^{-x}x^\alpha\).
Полиномы Лагерра являются частным случаем, где \(\alpha = 0\).
Ссылки
[AS]Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.
Примеры
Обобщённые полиномы Лагерра тесно связаны с вырожденной гипергеометрической функцией \({}_1F_1\):
\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]Это можно проверить, например, для \(n = \alpha = 3\) на интервале \([-1, 1]\):
>>> import numpy as np >>> from scipy.special import binom >>> from scipy.special import genlaguerre >>> from scipy.special import hyp1f1 >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x)) True
Это график обобщённых полиномов Лагерра \(L_3^{(\alpha)}\) для некоторых значений \(\alpha\):
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0) >>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$') >>> for alpha in np.arange(0, 5): ... ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
