scipy.special.ive#

scipy.special.ive(v, z, выход=None) = 'ive'>#

Экспоненциально масштабированная модифицированная функция Бесселя первого рода.

Определено как:

ive(v, z) = iv(v, z) * exp(-abs(z.real))

Для мнимых чисел без действительной части возвращает немасштабированную функцию Бесселя первого рода iv.

Параметры:

varray_like из float: Порядок.
zarray_like из float или complex: Аргумент.
выходndarray, необязательно: Необязательный выходной массив для значений функции

Возвращает:

скаляр или ndarray: Значения экспоненциально масштабированной модифицированной функции Бесселя.

Смотрите также

iv: Модифицированная функция Бесселя первого рода
i0e: Более быстрая реализация этой функции для порядка 0
i1e: Более быстрая реализация этой функции для порядка 1

Примечания

Для положительных v, AMOS [1] zbesi вызывается процедура. Она использует степенной ряд для малых z, асимптотическое разложение для больших abs(z), алгоритм Миллера, нормализованный вронскианом, и ряд Неймана для промежуточных величин, а также равномерные асимптотические разложения для \(I_v(z)\) и \(J_v(z)\) для больших порядков. Обратная рекурсия используется для генерации последовательностей или уменьшения порядков, когда это необходимо.

Вышеуказанные вычисления выполняются в правой полуплоскости и продолжаются в левую полуплоскость по формуле,

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

(действительно, когда действительная часть z положителен). Для отрицательных v, формула

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

используется, где \(K_v(z)\) является модифицированной функцией Бесселя второго рода, вычисленной с использованием подпрограммы AMOS zbesk.

ive полезен для больших аргументов z: для этих, iv легко переполняется, в то время как ive не делает из-за экспоненциального масштабирования.

Ссылки

[1]

Дональд Э. Амос, «AMOS, переносимый пакет для функций Бесселя комплексного аргумента и неотрицательного порядка», http://netlib.org/amos/

Примеры

В следующем примере iv возвращает бесконечность, тогда как ive всё ещё возвращает конечное число.

>>> from scipy.special import iv, ive
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> iv(3, 1000.), ive(3, 1000.)
(inf, 0.01256056218254712)

Вычислите функцию в одной точке для разных порядков, предоставив список или массив NumPy в качестве аргумента для v параметр:

>>> ive([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.46575961, 0.20791042, 0.10798193])

Оцените функцию в нескольких точках для порядка 0, предоставив массив для z.

>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> ive(0, points)
array([0.30850832, 1.        , 0.24300035])

Вычислить функцию в нескольких точках для разных порядков, предоставляя массивы для обоих v для z. Оба массива должны быть совместимы для трансляции в правильную форму. Для вычисления порядков 0, 1 и 2 для одномерного массива точек:

>>> ive([[0], [1], [2]], points)
array([[ 0.30850832,  1.        ,  0.24300035],
       [-0.21526929,  0.        ,  0.19682671],
       [ 0.09323903,  0.        ,  0.11178255]])

Построить графики функций порядка от 0 до 3 от -5 до 5.

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, ive(i, x), label=fr'$I_{i!r}(z)\cdot e^{{-|z|}}$')
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel(r"$z$")
>>> plt.show()