roots_hermite#
- scipy.special.roots_hermite(n, mu=False)[источник]#
Квадратура Гаусса-Эрмита (физическая).
Вычисляет точки выборки и веса для квадратуры Гаусса-Эрмита. Точки выборки являются корнями полинома Эрмита n-й степени, \(H_n(x)\). Эти точки выборки и веса корректно интегрируют полиномы степени \(2n - 1\) или меньше на интервале \([-\infty, \infty]\) с весовой функцией \(w(x) = e^{-x^2}\). См. 22.2.14 в [AS] для подробностей.
- Параметры:
- nint
порядок квадратуры
- mubool, необязательно
Если True, возвращает сумму весов, опционально.
- Возвращает:
- xndarray
Точки выборки
- wndarray
Веса
- mufloat
Сумма весов
Примечания
Для малых n до 150 используется модифицированная версия алгоритма Голуба-Велша. Узлы вычисляются из задачи на собственные значения и улучшаются одним шагом итерации Ньютона. Веса вычисляются по известной аналитической формуле.
Для n больше 150 применяется оптимальный асимптотический алгоритм, который вычисляет узлы и веса численно устойчивым образом. Алгоритм имеет линейное время выполнения, что делает вычисления для очень больших n (несколько тысяч или более) выполнимыми.
Ссылки
[townsend.trogdon.olver-2014]Таунсенд, А. и Трогдон, Т. и Олвер, С. (2014) Быстрое вычисление узлов и весов квадратуры Гаусса на всей вещественной прямой. arXiv:1410.5286.
[townsend.trogdon.olver-2015]Таунсенд, А. и Трогдон, Т. и Олвер, С. (2015) Быстрое вычисление узлов и весов квадратуры Гаусса на всей вещественной прямой. IMA Journal of Numerical Analysis DOI:10.1093/imanum/drv002.
[AS]Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.