scipy.optimize.

brentq#

scipy.optimize.brentq(f, a, b, args=(), xtol=2e-12, rtol=np.float64(8.881784197001252e-16), maxiter=100, full_output=False, disp=True)[источник]#

Найти корень функции в интервале скобок с использованием метода Брента.

Использует классический метод Брента для нахождения корня функции f на интервале смены знака [a, b]. Обычно считается лучшим из алгоритмов нахождения корней здесь. Это безопасная версия метода секущих, которая использует обратную квадратичную экстраполяцию. Метод Брента сочетает ограничение корней, бисекцию интервала и обратную квадратичную интерполяцию. Его иногда называют методом ван Вейнгардена-Деккера-Брента. Брент (1973) утверждает, что сходимость гарантирована для функций, вычислимых в пределах [a,b].

[Brent1973] предоставляет классическое описание алгоритма. Другое описание можно найти в последнем издании Numerical Recipes, включая [PressEtal1992]. Третье описание находится в http://mathworld.wolfram.com/BrentsMethod.html. Алгоритм должен быть легко понятен просто при чтении нашего кода. Наш код немного расходится со стандартными представлениями: мы выбираем другую формулу для шага экстраполяции.

Параметры:

fфункция: Функция Python, возвращающая число. Функция \(f\) должен быть непрерывным, и \(f(a)\) и \(f(b)\) должны иметь противоположные знаки.
aскаляр: Один конец интервала локализации \([a, b]\).
bскаляр: Другой конец интервала ограничения \([a, b]\).
xtolчисло, опционально: Вычисленный корень x0 будет удовлетворять np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol), где x является точным корнем. Параметр должен быть положительным. Для хороших функций метод Брента часто будет удовлетворять указанному условию с xtol/2 и rtol/2. [Brent1973]
rtolчисло, опционально: Вычисленный корень x0 будет удовлетворять np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol), где x является точным корнем. Параметр не может быть меньше своего значения по умолчанию 4*np.finfo(float).eps. Для хороших функций метод Брента часто удовлетворяет вышеуказанному условию с xtol/2 и rtol/2. [Brent1973]
maxiterint, необязательный: Если сходимость не достигнута за maxiter итераций, возникает ошибка. Должно быть >= 0.
argsкортеж, необязательный: Содержит дополнительные аргументы для функции f. f вызывается функцией apply(f, (x)+args).
full_outputbool, необязательно: Если full_output равно False, возвращается корень. Если full_output если True, возвращаемое значение (x, r), где x является корнем, и r is a RootResults объект.
dispbool, необязательно: Если True, вызывает RuntimeError, если алгоритм не сошёлся. В противном случае статус сходимости записывается в любой RootResults возвращаемый объект.

Возвращает:

rootfloat: Корень f между a и b.
rRootResults (присутствует, если full_output = True): Объект, содержащий информацию о сходимости. В частности, r.converged равно True, если процедура сошлась.

Смотрите также

fmin, fmin_powell, fmin_cg, fmin_bfgs, fmin_ncg: многомерные локальные оптимизаторы
leastsq: минимизатор нелинейных наименьших квадратов
fmin_l_bfgs_b, fmin_tnc, fmin_cobyla: ограниченные многомерные оптимизаторы
basinhopping, differential_evolution, brute: глобальные оптимизаторы
fminbound, brent, golden, bracket: локальные скалярные минимизаторы
fsolve: Поиск корней в N-мерном пространстве
brenth, ridder, bisect, newton: 1-D поиск корней
fixed_point: скалярный итератор неподвижной точки
elementwise.find_root: эффективный поэлементный одномерный поиск корней

Примечания

f должна быть непрерывной. f(a) и f(b) должны иметь противоположные знаки.

Как упомянуто в документации параметров, вычисленный корень x0 будет удовлетворять np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol), где x является точным корнем. В форме уравнения это условие завершения выглядит как abs(x - x0) <= xtol + rtol * abs(x0).

Значение по умолчанию xtol=2e-12 может привести к неожиданному поведению, если ожидается brentq всегда вычислять корни с относительной погрешностью, близкой к машинной точности. Следует быть осторожным при выборе xtol для конкретного случая использования. Установка xtol=5e-324, наименьшее субнормальное число, обеспечит наивысший уровень точности. Большие значения xtol может быть полезно для сохранения вычислений функций, когда корень находится в нуле или рядом с ним в приложениях, где крошечные абсолютные различия, доступные между числами с плавающей запятой около нуля, не имеют смысла.

Ссылки

[Brent1973] (1,2,3)

Brent, R. P., Алгоритмы минимизации без производных. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, 1973. Гл. 3-4.

[PressEtal1992]

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2-е изд. Кембридж, Англия: Cambridge University Press, стр. 352-355, 1992. Раздел 9.3: “Метод Ван Вейнгардена-Деккера-Брента.”

Примеры

>>> def f(x):
...     return (x**2 - 1)

>>> from scipy import optimize

>>> root = optimize.brentq(f, -2, 0)
>>> root
-1.0

>>> root = optimize.brentq(f, 0, 2)
>>> root
1.0