scipy.special.ellipe#

scipy.special.ellipe(m, выход=None) = 'ellipe'>#

Полный эллиптический интеграл второго рода

Эта функция определяется как

\[E(m) = \int_0^{\pi/2} [1 - m \sin(t)^2]^{1/2} dt\]

Параметры:

marray_like: Определяет параметр эллиптического интеграла.
выходndarray, необязательно: Необязательный выходной массив для значений функции

Возвращает:

Eскаляр или ndarray: Значение эллиптического интеграла.

Смотрите также

ellipkm1: Полный эллиптический интеграл первого рода, около m = 1
ellipk: Полный эллиптический интеграл первого рода
ellipkinc: Неполный эллиптический интеграл первого рода
ellipeinc: Неполный эллиптический интеграл второго рода
elliprd: Симметричный эллиптический интеграл второго рода.
elliprg: Полностью-симметричный эллиптический интеграл второго рода.

Примечания

Обертка для Cephes [1] рутина ellpe.

Для m > 0 вычисление использует аппроксимацию,

\[E(m) \approx P(1-m) - (1-m) \log(1-m) Q(1-m),\]

где \(P\) и \(Q\) являются полиномами десятого порядка. Для m < 0, соотношение

\[E(m) = E(m/(m - 1)) \sqrt(1-m)\]

используется.

Параметризация в терминах \(m\) следует разделу 17.2 в [2]. Другие параметризации через дополнительный параметр \(1 - m\), модульный угол \(\sin^2(\alpha) = m\), или модуль \(k^2 = m\) также используются, поэтому будьте внимательны при выборе правильного параметра.

Интеграл Лежандра E связан с симметричными функциями R_D или R_G Карлсона несколькими способами [3]. Например,

\[E(m) = 2 R_G(0, 1-k^2, 1) .\]

Ссылки

[1]

Библиотека математических функций Cephes, http://www.netlib.org/cephes/

[2]

Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover, 1972.

[3]

Цифровая библиотека математических функций NIST. http://dlmf.nist.gov/, Релиз 1.0.28 от 2020-09-15. См. разд. 19.25(i) https://dlmf.nist.gov/19.25#i

Примеры

Эта функция используется для нахождения длины окружности эллипса с большой полуосью a и малая полуось b.

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special

>>> a = 3.5
>>> b = 2.1
>>> e_sq = 1.0 - b**2/a**2  # eccentricity squared

Затем длина окружности находится с помощью следующего:

>>> C = 4*a*special.ellipe(e_sq)  # circumference formula
>>> C
17.868899204378693

Когда a и b одинаковы (эксцентриситет равен 0), это сводится к длине окружности круга.

>>> 4*a*special.ellipe(0.0)  # formula for ellipse with a = b
21.991148575128552
>>> 2*np.pi*a  # formula for circle of radius a
21.991148575128552