Распределение фон Мизеса

Есть один параметр формы \(\kappa>0\), с поддержкой \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\). Для значений \(\kappa<100\) используются формулы PDF и CDF ниже. В противном случае используется нормальное приближение с дисперсией \(1/\kappa\) используется. [Обратите внимание, что функции PDF и CDF ниже являются периодическими с периодом \(2\pi\). Если вход вне \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\) если задано, оно преобразуется в эквивалентный угол в этом диапазоне.]

\begin{eqnarray*} f\left(x;\kappa\right) & = & \frac{e^{\kappa\cos x}}{2\pi I_{0}\left(\kappa\right)}\\ F\left(x;\kappa\right) & = & \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{I_{k}\left(\kappa\right)\sin\left(kx\right)}{I_{0}\left(\kappa\right)\pi k}\\ G\left(q; \kappa\right) & = & F^{-1}\left(x;\kappa\right)\end{eqnarray*}

где \(I_{k}(\kappa)\) является модифицированной функцией Бесселя первого рода.

\begin{eqnarray*} \mu & = & 0\\ \mu_{2} & = & \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}f\left(x;\kappa\right)dx\\ \gamma_{1} & = & 0\\ \gamma_{2} & = & \frac{\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}f\left(x;\kappa\right)dx}{\mu_{2}^{2}}-3\end{eqnarray*}

Это может использоваться для определения круговой дисперсии.

Реализация: scipy.stats.vonmises