Отрицательное гипергеометрическое распределение

Рассмотрим коробку, содержащую \(M\) шары: \(n\) красный и \(M-n\) синий. Мы случайным образом выбираем шары из коробки, по одному за раз и без заменой, пока мы не выбрали \(r\) синие шары. nhypergeom является распределением количества красных шаров \(k\) мы выбрали.

\begin{eqnarray*} p(k;M,n,r) & = & \frac{\left(\begin{array}{c} k+r-1\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} M-r-k\\ n-k\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} M\\ n\end{array}\right)}\quad 0 \leq k \leq M-n,\\ F(x;M,n,r) & = & \sum_{k=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }p\left(k;M,n,r\right),\\ \mu & = & \frac{rn}{M-n+1},\\ \mu_{2} & = & \frac{rn(M+1)}{(M-n+1)(M-n+2)}\left(1-\frac{r}{M-n+1}\right) \end{eqnarray*}

для \(k \in 0, 1, 2, ..., n\), где биномиальные коэффициенты определены как,

\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!} \end{eqnarray*}

Кумулятивная функция распределения, функция выживания, функция риска, кумулятивная функция риска, обратная функция распределения, производящая функция моментов и характеристическая функция на носителе \(k\) математически неразрешимы.

Реализация: scipy.stats.nhypergeom