Двойное распределение Парето-Логнормальное

Для вещественных чисел \(x\) и \(\mu\), \(\sigma > 0\), \(\alpha > 0\), и \(\beta > 0\), PDF двойного распределения Парето-логнормального:

\begin{eqnarray*} f(x, \mu, \sigma, \alpha, \beta) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta) x} \phi\left( \frac{\log x - \mu}{\sigma} \right) \left( R(y_1) + R(y_2) \right) \end{eqnarray*}

где \(R(t) = \frac{1 - \Phi(t)}{\phi(t)}\) является отношением Миллса, \(y_1 = \alpha \sigma - \frac{\log x - \mu}{\sigma}\), и \(y_2 = \beta \sigma + \frac{\log x - \mu}{\sigma}\). CDF:

\begin{eqnarray*} F(x, \mu, \sigma, \alpha, \beta) = \Phi \left(\frac{\log x - \mu}{\sigma} \right) - \phi \left(\frac{\log x - \mu}{\sigma} \right) \left(\frac{\beta R(x_1) - \alpha R(x_2)}{\alpha + \beta} \right) \end{eqnarray*}

Сырой момент \(k > \alpha\) задается формулой:

\begin{eqnarray*} \mu_k' = \frac{\alpha \beta}{(\alpha - k)(\beta + k)} \exp \left(k \mu + \frac{k^2 \sigma^2}{2} \right) \end{eqnarray*}

Реализация: scipy.stats.dpareto_lognorm