Обратное нормальное (обратное гауссово) распределение

Стандартная форма включает параметр формы \(\mu\) (в большинстве определений, \(L=0.0\) используется). (В терминах документации регрессии \(\mu=A/B\) ) и \(B=S\) и \(L\) не является параметром в этом распределении. Стандартная форма \(x>0\)

\begin{eqnarray*} f\left(x;\mu\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi x^{3}}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2x\mu^{2}}\right).\\ F\left(x;\mu\right) & = & \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x-\mu}{\mu}\right)+\exp\left(\frac{2}{\mu}\right)\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x+\mu}{\mu}\right)\\ G\left(q;\mu\right) & = & F^{-1}\left(q;\mu\right)\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu\\ \mu_{2} & = & \mu^{3}\\ \gamma_{1} & = & 3\sqrt{\mu}\\ \gamma_{2} & = & 15\mu\\ m_{d} & = & \frac{\mu}{2}\left(\sqrt{9\mu^{2}+4}-3\mu\right)\end{eqnarray*}

Это связано с канонической формой или JKB «двухпараметрическим» обратным распределением Гаусса, когда оно записано в полной форме с параметром масштаба \(S\) и параметр положения \(L\) путём взятия \(L=0\) и \(S\equiv\lambda,\) затем \(\mu S\) равно \(\mu_{2}\) где \(\mu_{2}\) является параметром, используемым JKB. Мы предпочитаем эту форму из-за её последовательного использования параметра масштаба. Заметим, что в JKB асимметрия \(\left(\sqrt{\beta_{1}}\right)\) и эксцесс ( \(\beta_{2}-3\) ) являются функциями только от \(\mu_{2}/\lambda=\mu S/S=\mu\) как показано здесь, в то время как дисперсия и среднее стандартной формы здесь преобразуются соответствующим образом.

Реализация: scipy.stats.invgauss