Логнормальное (Кобба-Дугласа) распределение

Имеет один параметр формы \(\sigma\) >0. (Обратите внимание, что «Regress» \(A=\log S\) где \(S\) является параметром масштаба и \(A\) является средним нормального распределения). Носитель — \(x\geq0\).

\begin{eqnarray*} f\left(x;\sigma\right) & = & \frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)^{2}\right)\\ F\left(x;\sigma\right) & = & \Phi\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)\\ G\left(q;\sigma\right) & = & \exp\left( \sigma\Phi^{-1}\left(q\right)\right) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \exp\left(\sigma^{2}/2\right)\\ \mu_{2} & = & \exp\left(\sigma^{2}\right)\left[\exp\left(\sigma^{2}\right)-1\right]\\ \gamma_{1} & = & \sqrt{p-1}\left(2+p\right)\\ \gamma_{2} & = & p^{4}+2p^{3}+3p^{2}-6\quad\quad p=e^{\sigma^{2}}\end{eqnarray*}

Обратите внимание, что используя обозначения JKB, мы имеем \(\theta=L,\) \(\zeta=\log S\) и мы дали так называемую антилогарифмически-нормальную форму распределения. Это более согласуется с описанием распределений вероятностей общего вида через параметры положения и масштаба.

\[h\left[X\right]=\frac{1}{2}\left[1+\log\left(2\pi\right)+2\log\left(\sigma\right)\right].\]

Также обратите внимание, что если \(X\) является лог-нормально распределенной случайной величиной с \(L=0\) и \(S\) и параметр формы \(\sigma.\) Затем, \(\log X\) нормально распределён с дисперсией \(\sigma^{2}\) и среднее \(\log S.\)

Реализация: scipy.stats.lognorm