Стьюдентизированное распределение размаха#
Это распределение имеет два параметра формы, \(k>1\) и \(\nu>0\), и носитель функции \(x \geq 0\).
\begin{eqnarray*}
f(x; k, \nu) = \frac{k(k-1)\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}
\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} s^{\nu} e^{-\nu s^2/2} \phi(z) \phi(sx + z)
[\Phi(sx + z) - \Phi(z)]^{k-2} \,dz \,ds
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F(q; k, \nu) = \frac{k\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}
\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} s^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2} \phi(z)
[\Phi(sq + z) - \Phi(z)]^{k-1} \,dz \,ds
\end{eqnarray*}
Примечание: \(\phi(z)\) и \(\Phi(z)\) представляют нормальную PDF и нормальную CDF соответственно.
Когда \(\nu\) превышает 100 000, асимптотическое приближение \(F(x; k, \nu=\infty)\) или \(f(x; k, \nu=\infty)\) используется:
\begin{eqnarray*}
F(x; k, \nu=\infty) = k \int_{-\infty}^{\infty} \phi(z)
[\Phi(x + z) - \Phi(z)]^{k-1} \,dz
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f(x; k, \nu=\infty) = k(k-1) \int_{-\infty}^{\infty} \phi(z)\phi(x + z)
[\Phi(x + z) - \Phi(z)]^{k-2} \,dz
\end{eqnarray*}
Реализация: scipy.stats.studentized_range