Нецентральное гипергеометрическое распределение Фишера#
Случайная величина имеет нецентральное гипергеометрическое распределение Фишера с параметрами
\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),
если его функция вероятности масс задана как
\[p(x; M, n, N, \omega) = \frac{\binom{n}{x}\binom{M - n}{N-x}\omega^x}{P_0},\]
для \(x \in [x_l, x_u]\), где \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),
\[P_k = \sum_{y=x_l}^{x_u} \binom{n}{y} \binom{M - n}{N-y} \omega^y y^k,\]
и биномиальные коэффициенты равны
\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]
Другие функции этого распределения:
\begin{eqnarray*}
\mu & = & \frac{P_0}{P_1},\\
\mu_{2} & = & \frac{P_2}{P_0} - \left(\frac{P_1}{P_0}\right)^2,\\
\end{eqnarray*}
Ссылки#
Agner Fog, «Biased Urn Theory», https://cran.r-project.org/web/packages/BiasedUrn/vignettes/UrnTheory.pdf
«Нецентральное гипергеометрическое распределение Фишера», Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher’s_noncentral_hypergeometric_distribution
Реализация: scipy.stats.nchypergeom_fisher