Распределение KStwobign

Это предельное распределение нормированных максимальных абсолютных разностей между эмпирической функцией распределения, вычисленной из \(n\) выборок или наблюдений, и функции сравнения (или целевой) кумулятивной функции распределения. (ksone является распределением ненормализованных положительных разностей, \(D_n^+\).)

Запись \(D_n = \sup_t \left|F_{empirical,n}(t) - F_{target}(t)\right|\), нормировочный коэффициент равен \(\sqrt{n}\), и kstwobign является предельным распределением для \(\sqrt{n} D_n\) значения как \(n\rightarrow\infty\).

Обратите внимание, что \(D_n=\max(D_n^+, D_n^-)\), но \(D_n^+\) и \(D_n^-\) не являются независимыми.

kstwobign также может использоваться с разностями между двумя эмпирическими функциями распределения, для наборов наблюдений с \(m\) и \(n\) выборок соответственно, где \(m\) и \(n\) являются "большими". Запись \(D_{m,n} = \sup_t \left|F_{1,m}(t)-F_{2,n}(t)\right|\), где \(F_{1,m}\) и \(F_{2,n}\) являются двумя эмпирическими функциями распределения, тогда kstwobign также является предельным распределением \(\sqrt{\frac{mn}{m+n}}D_{m,n}\) значения, как \(m,n\rightarrow\infty\) и \(m/n\rightarrow a \ne 0, \infty\).

Параметры формы отсутствуют, а носитель распределения — \(x\in\left[0,\infty\right)\).

\begin{eqnarray*} F\left(x\right) & = & 1 - 2 \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} e^{-2k^2 x^2}\\ & = & \frac{\sqrt{2\pi}}{x} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-(2k-1)^2 \pi^2/(8x^2)}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.kolmogorov}(n, x) \\ f\left(x\right) & = & 8x \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} k^2 e^{-2k^2 x^2} \end{eqnarray*}

Ссылки

• “Тест Колмогорова-Смирнова”, Википедия https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test

• Kolmogoroff, A. “Confidence Limits for an Unknown Distribution Function.” Ann. Math. Statist. 12 (1941), no. 4, 461–463.

• Смирнов, Н. "Об оценке расхождения между эмпирическими кривыми распределения для двух независимых выборок" Bull. Math. Univ. Moscou., 2 (1039), 2-26.

• Феллер, В. «О предельных теоремах Колмогорова-Смирнова для эмпирических распределений». Ann. Math. Statist. 19 (1948), no. 2, 177–189. и “Errata” Ann. Math. Statist. 21 (1950), № 2, 301–302.

Реализация: scipy.stats.kstwobign