Нормальное обратное гауссовское распределение

Функция плотности вероятности задается как:

\begin{eqnarray*} f(x; a, b) = \frac{a \exp\left(\sqrt{a^2 - b^2} + b x \right)}{\pi \sqrt{1 + x^2}} \, K_1\left(a * \sqrt{1 + x^2}\right), \end{eqnarray*}

где \(x\) является вещественным числом, параметр \(a\) является тяжестью хвоста и \(b\) является параметром асимметрии, удовлетворяющим \(a > 0\) и \(|b| \leq a\). \(K_1\) это модифицированная функция Бесселя второго рода (scipy.special.k1).

Нормальная обратная гауссовская случайная величина с параметрами \(a\) и \(b\) может быть выражено как \(X = b V + \sqrt(V) X\) где \(X\) является norm(0,1) и \(V\) является invgauss(mu=1/sqrt(a**2 - b**2)). Следовательно, нормальное обратное гауссовское распределение является частным случаем нормальных смесей дисперсии-среднего.

Другая распространенная параметризация распределения задается следующим выражением плотности вероятности:

\begin{eqnarray*} g(x, \alpha, \beta, \delta, \mu) = \frac{\alpha\delta K_1 \left(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)}{\pi \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}} \, e^{\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} + \beta (x - \mu)} \end{eqnarray*}

В SciPy это соответствует \(a = \alpha \delta, b = \beta \delta, \text{loc} = \mu, \text{scale}=\delta\).

Реализация: scipy.stats.norminvgauss