Распределение Юла-Саймона

Случайная величина Юла-Саймона с параметром \(\alpha>0\) может быть представлен как смесь экспоненциальных случайных величин. Чтобы увидеть это, запишите \(W\) как экспоненциальная случайная величина со скоростью \(\rho\) и геометрическая случайная величина \(K\) с вероятностью \(1-exp(-W)\) затем \(K\) маргинально имеет распределение Юла-Саймона. Представление скрытой переменной, описанное выше, используется для генерации случайных величин.

\begin{eqnarray*} p \left( k; \alpha \right) & = & \alpha \frac{\Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \\ F \left( k; \alpha \right) & = & 1 - \frac{ k \Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \end{eqnarray*}

для \(k = 1,2,...\).

Теперь

\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{\alpha}{\alpha-1}\\ \mu_{2} & = & \frac{\alpha^2}{\left(\alpha-1\right)^2\left( \alpha - 2 \right)}\\ \gamma_{1} & = & \frac{ \sqrt{\left( \alpha - 2 \right)} \left( \alpha + 1 \right)^2}{ \alpha \left( \alpha - 3 \right)}\\ \gamma_{2} & = & \frac{ \left(\alpha + 3\right) + \left(\alpha^3 - 49\alpha - 22\right)}{\alpha \left(\alpha - 4\right)\left(\alpha - 3 \right) } \end{eqnarray*}

для \(\alpha>1\) иначе среднее бесконечно, а дисперсия не существует. Для дисперсии, \(\alpha>2\) иначе дисперсия не существует. Аналогично, для конечности асимметрии и эксцесса, \(\alpha>3\) и \(\alpha>4\) соответственно.

Реализация: scipy.stats.yulesimon