numpy.linalg.eigh#

linalg.eigh(a, UPLO='L')[источник]#

Возвращает собственные значения и собственные векторы комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) или вещественной симметричной матрицы.

Возвращает два объекта: одномерный массив, содержащий собственные значения a, и 2-D квадратный массив или матрица (в зависимости от типа входных данных) соответствующих собственных векторов (в столбцах).

Параметры:

a(…, M, M) массив: Эрмитовы или вещественные симметричные матрицы, для которых вычисляются собственные значения и собственные векторы.
UPLO{‘L’, ‘U’}, необязательно: Указывает, выполняется ли вычисление с нижней треугольной частью a ('L', по умолчанию) или верхняя треугольная часть ('U'). Независимо от этого значения в вычислениях будут учитываться только действительные части диагонали, чтобы сохранить понятие эрмитовой матрицы. Следовательно, мнимая часть диагонали всегда будет рассматриваться как ноль.

Возвращает:

Именованный кортеж со следующими атрибутами:
собственные значения(…, M) ndarray: Собственные значения в порядке возрастания, каждое повторяется в соответствии с его кратностью.
собственные векторы{(…, M, M) ndarray, (…, M, M) matrix}: Столбец eigenvectors[:, i] является нормированным собственным вектором, соответствующим собственному значению eigenvalues[i]. Вернёт объект матрицы, если a является объектом матрицы.

Вызывает:

LinAlgError: Если вычисление собственных значений не сходится.

Смотрите также

eigvalsh: собственные значения вещественных симметричных или комплексных эрмитовых (сопряжённо-симметричных) массивов.
eig: собственные значения и правые собственные векторы для несимметричных массивов.
eigvals: собственные значения несимметричных массивов.
scipy.linalg.eigh: Похожая функция в SciPy (но также решает обобщенную проблему собственных значений).

Примечания

Применяются правила трансляции, см. numpy.linalg документации для подробностей.

Собственные значения/собственные векторы вычисляются с использованием подпрограмм LAPACK _syevd, _heevd.

Собственные значения вещественных симметричных или комплексных эрмитовых матриц всегда вещественны. [1] Массив собственные значения из (столбцов) собственных векторов является унитарной и a, собственные значения, и собственные векторы удовлетворяют уравнениям dot(a, eigenvectors[:, i]) = eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i].

Ссылки

[1]

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2-е изд., Орландо, Флорида, Academic Press, Inc., 1980, стр. 222.

Примеры

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]])
>>> a
array([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(a)
>>> eigenvalues
array([0.17157288, 5.82842712])
>>> eigenvectors
array([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ], # may vary
       [ 0.        +0.38268343j,  0.        -0.92387953j]])

>>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 0]) -
... eigenvalues[0] * eigenvectors[:, 0])  # verify 1st eigenval/vec pair
array([5.55111512e-17+0.0000000e+00j, 0.00000000e+00+1.2490009e-16j])
>>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 1]) -
... eigenvalues[1] * eigenvectors[:, 1])  # verify 2nd eigenval/vec pair
array([0.+0.j, 0.+0.j])

>>> A = np.matrix(a) # what happens if input is a matrix object
>>> A
matrix([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
        [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(A)
>>> eigenvalues
array([0.17157288, 5.82842712])
>>> eigenvectors
matrix([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ], # may vary
        [ 0.        +0.38268343j,  0.        -0.92387953j]])

>>> # demonstrate the treatment of the imaginary part of the diagonal
>>> a = np.array([[5+2j, 9-2j], [0+2j, 2-1j]])
>>> a
array([[5.+2.j, 9.-2.j],
       [0.+2.j, 2.-1.j]])
>>> # with UPLO='L' this is numerically equivalent to using LA.eig() with:
>>> b = np.array([[5.+0.j, 0.-2.j], [0.+2.j, 2.-0.j]])
>>> b
array([[5.+0.j, 0.-2.j],
       [0.+2.j, 2.+0.j]])
>>> wa, va = LA.eigh(a)
>>> wb, vb = LA.eig(b)
>>> wa
array([1., 6.])
>>> wb
array([6.+0.j, 1.+0.j])
>>> va
array([[-0.4472136 +0.j        , -0.89442719+0.j        ], # may vary
       [ 0.        +0.89442719j,  0.        -0.4472136j ]])
>>> vb
array([[ 0.89442719+0.j       , -0.        +0.4472136j],
       [-0.        +0.4472136j,  0.89442719+0.j       ]])