numpy.linalg.norm

linalg.norm(x, ord=None, ось=None, keepdims=False)

Норма матрицы или вектора.

Эта функция может возвращать одну из восьми различных матричных норм, или одну из бесконечного числа векторных норм (описанных ниже), в зависимости от значения ord параметр.

Параметры:

xarray_like

Входной массив. Если ось равно None, x должен быть одномерным или двумерным, если только ord равно None. Если оба ось и ord равны None, 2-норма x.ravel будет возвращен.

ord{int, float, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}, необязательно

Порядок нормы (см. таблицу под Notes для каких значений поддерживаются для матриц и векторов соответственно). inf означает numpy's inf объект. По умолчанию None.

ось{None, int, 2-кортеж ints}, необязательно.

Если ось является целым числом, оно задаёт ось x вдоль которого вычисляются векторные нормы. Если ось является кортежем из двух элементов, он указывает оси, которые содержат 2-D матрицы, и вычисляются матричные нормы этих матриц. Если ось равно None, то либо векторная норма (когда x является 1-D) или матричной нормой (когда x возвращается 2-D. По умолчанию None.

keepdimsbool, необязательно

Если установлено в True, оси, по которым вычисляется норма, остаются в результате как размерности с размером один. С этой опцией результат будет корректно broadcast против исходного x.

Возвращает:

nfloat или ndarray

Норма матрицы или вектора(ов).

Смотрите также

scipy.linalg.norm

Похожая функция в SciPy.

Примечания

Для значений ord < 1, результат, строго говоря, не является математической 'нормой', но он всё ещё может быть полезен для различных численных целей.

Могут быть вычислены следующие нормы:

ord	норма для матриц	норма для векторов
None	Норма Фробениуса	2-норма
‘fro’	Норма Фробениуса	–
‘nuc’	ядерная норма	–
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	–	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	как показано ниже
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	как показано ниже
2	2-норма (наибольшее сингулярное значение)	как показано ниже
-2	наименьшее сингулярное значение	как показано ниже
other	–	sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

Норма Фробениуса задается формулой [1]:

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

Ядерная норма - это сумма сингулярных значений.

Как норма Фробениуса, так и ядерная норма определены только для матриц и вызывают ValueError, когда x.ndim != 2.

Ссылки

[1]

G. H. Golub и C. F. Van Loan, Матричные вычисления, Балтимор, Мэриленд, Издательство Университета Джонса Хопкинса, 1985, стр. 15

Примеры

Попробуйте в вашем браузере!

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

Используя ось аргумент для вычисления векторных норм:

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

Используя ось аргумент для вычисления матричных норм:

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)

НазадОткрыть во вкладке